橡皮筋和小塑料棍感受函数某点的

发布时间：2019-05-24 20:28:00 来源：自考网

准备好实验工具

A2标准坐标纸

无木彩色铅笔（或普通彩色铅笔）

橡皮筋（乳胶圈）

计数棒

需要购买的试验工具及商品的地址

A2标准坐标纸

捷克酷喜乐无木彩铅

橡皮筋（乳胶圈）

计数棒

开始做

1. 准备好实验材料，在一张A2的坐标纸上确立一个平面直角坐标系，以坐标纸上的(20,20)为原点，用黑色铅笔画出水平的x轴（以5厘米为1个单位）和垂直的y轴（以1厘米为1个单位），如下图所示。

2. 以函数f(x)=x3-x（x3即X的3次方）为例，以下面的函数点坐标(-2,-6), (-1.5,-1.875), (-1,0), (-0.5,0.375), (0,0), (0.5, -0.375), (1,0), (1.5,1.875),(2,6),和(2.5,13.125)为参照，用蓝色的彩色铅笔绘出这个函数的大致曲线，如下图所示。

3.把环形橡皮筋从中间剪断，变成一条有两个端头的橡皮筋，然后用两只手分别拉着橡皮筋的两个端头，让左手的手指拉着的端头指在x轴上，意味着这个函数的任意点在x轴上的值是多少。让右手的手指拉着的端头指在y轴上，意味着这个函数的任意点在y轴上的值是多少。让两个手的手指分别拉着橡皮绳的两端，在x轴上从最左边向最右方向移动，同时让橡皮绳的两个端点指向x轴和y轴的值都正确地反映着函数上的点的x轴和y轴的坐标值。

你可以看到：函数值y和x值的相对变化情况。

4. 在上一步函数的各个坐标点上，按照通过这个点的切线的方向放置小的塑料棒。各种颜色的小塑料棒的使用原则如下：切线的斜率为正时，使用绿色的小塑料棒；切线的斜率为负值时，使用红色的小塑料棒；切线的斜率为0时，使用黄色的小塑料棒。

你会看到: 切线的斜率为正，为负，为0时，在这个函数的曲线上有着不同的分布。

5. 用左手的手指把这条有两个端头的橡皮筋的一个端头指在函数左下方的点（-1.5,-1.875）上，把右手的手指把另一个端头放在函数的最右上方的点上，然后，让右手的手指在函数上以x轴逐渐减小的方向向左下方的左手端点进行移动。

你会看到:这两个点的斜率在不断地变化。

6. 在函数左下方的点（-1.5,-1.875）上用绿色的小塑料棒大致放置出通过它的斜率，这条斜率与x轴的交点大致的坐标是（-1.2,0）,通过斜率的运算公式：m=△y/△x=(y2-y1)/(x2-x1)=(0-(-1.875)/(-1.2-(-1.5))

你可以运算出:通过这个点的斜率大致是:6.25

7. 通过函数上任意点的切线的斜率的计算公式 m=△y/△x=(f(x+△x)-f(x))/((x+△x)-x)。

你的推演结果应该是：当△x->0时，这个点的切线的斜率公式应该是：3x2-1（x2即X的2次方），推演过程如下面的两张图所示。

8. 通过函数任意点的切线的斜率公式m=3x2-1（x2即X的2次方），计算出通过点(-1.5,-1.875)的切线斜率。

你的运算结果应该是: 把x=-1.5代入到m=3x2-1（x2即X的2次方）中，得到m=3*(-1.5)(-1.5)-1=5.75。 ? ? 和你上一步通过小塑料棒摆布估算的斜率6.25是接近的 ? ? 。

9. 通过函数任意点的切线的斜率公式m=3x2-1（x2即X的2次方），计算出通过点(-1,0)的切线斜率。

你的运算结果应该是: 把x=-1代入到m=3x2-1（x2即X的2次方）中，得到m=3*(-1)(-1)-1=2。

10. 通过函数任意点的切线的斜率公式m=3x2-1（x2即X的2次方），计算出通过点(-0.5,0.375)的切线斜率。

你的运算结果应该是: 把x=-0.5代入到m=3x2-1（x2即X的2次方）中，得到m=3*(-0.5)(-0.5)-1=-0.25。

11. 通过函数任意点的切线的斜率公式m=3x2-1（x2即X的2次方），计算出通过点(0,0)的切线斜率。

你的运算结果应该是: 把x=0代入到m=3x2-1（x2即X的2次方）中，得到m=3*(0)(0)-1=-1。

12. 为了计算出切线的斜率=0的确切的点坐标，让m=3x2-1（x2即X的2次方）=0，即3x ? ? x-1=0推算出x ? ? x=1/3，可以得出x有两个值：+0.577和-0.577。

你可以运算出: 当x=0.577时，通过 f(x)=x3-x（x3即X的3次方），得出y=-0.385;当x=-0.577时，通过 f(x)=x3-x（x3即X的3次方），得出y==0.385;即这两个切线斜率=0 的点坐标分别是：(0.577,-0.385)和(-0.577,+0.385).

参考文献及资料

维基百科

Calculus

Tangent

Slope

y-intercept

Zero of a function

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